Question

【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上．直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓 交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)直線的方程，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（I）根據(jù)已知得到a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）先討論當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為 滿足題意.再討論直線與軸不垂直，設(shè)直線，先計(jì)算出，，再根據(jù)求出此時(shí)直線的方程.

解：（I）由題意得,解得.

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）四邊形能為平行四邊形．

（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為 滿足題意

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線，顯然.

設(shè)，，．

將代入得，

故，

．于是直線的斜率，即．

由直線，過(guò)點(diǎn)，得，因此．

的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

由得，即．

四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．

于是．由，得滿足

所以直線的方程為時(shí)，四邊形為平行四邊形．

綜上所述：直線的方程為或 .