Question

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點D、E．
（1）當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），易證：OD+OE= OC；
（2）當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

解：（1）當CD與OA垂直時，
∵△CDO為Rt△，
∴OC= ，
∴，
由題意得四邊形ODCE是正方形，
∴OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE=
（2）過點C分別作CK⊥OA，垂足為K，CH⊥OB，垂足為H．
∵OM為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1與∠2都為旋轉角，
∴∠1=∠2，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK=
∴OD+OE=．
（3）結論不成立．
過點C分別作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD與∠HCE都為旋轉角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE﹣OD=OH+EH﹣OD=OH+DK﹣OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK= ，
∴OD，OE，OC滿足．