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可以證明, 對任意的, 有成立. 下面嘗試推廣該命題:

（1）       設由三項組成的數列每項均非零, 且對任意的有

成立, 求所有滿足條件的數列;

（2）設數列每項均非零, 且對任意的有

成立, 數列的前項和為. 求證: , ;

（3）是否存在滿足(2)中條件的無窮數列, 使得? 若存在, 寫出一個這樣的無窮數列(不需要證明它滿足條件); 若不存在, 說明理由.

解：（1） 取, 有, 又, 所以.                                                (2分)

取, 有, 于是, 又, 所以或2.                                                                                                          (4分)

取, 有.

當時, , 又, 所以.

當時, , 整理得, , 所以或.

綜上, 所有滿足條件的數列為.                                          (6分)

（2）由已知, , 用替換, 得到

.

兩式相減, 有

                            (9分)

 .

因, 所以, .                                                         (12分)

（3）存在. 是一個滿足條件的無窮數列.                      (18分)

注: 滿足(2)中條件的數列遞推式為或, 所以符合的數列前2012項必須為, 之后的項只需滿足遞推式即可, 但要注意不能出現值為0的項.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

我們用符號“||”定義過一些數字概念，如實數絕對值的概念：對于a∈R，|a|=
a，a＞0
0，a=0
-a，a＜0
，可以證明，對任意a，b∈R，不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立．
（1）再寫出兩個這類數學概念的定義及其成立的不等式；
（2）對于集合A，定義“|A|”為集合A中元素的個數，對任意的集合A、B有類似的不等式成立嗎？如果有，寫出一個，并指出等號成立的條件（不必說明理由）；如果沒有，請說明理由；
（3）設有集合A、B，若|A|=15，|B|≥15，若從A中任取兩上元素，恰好都是B中元素的概率p≥
1
5
，求|A∩B|的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•姜堰市模擬）可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數列；
（2）設數列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數列{an}，使得a2012=-2011？若存在，寫出一個這樣的無窮數列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數列；
（2）設數列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個這樣的無窮數列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數列；
（2）設數列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個這樣的無窮數列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年江蘇省泰州市姜堰市蔣垛中學高三聯考數學試卷（解析版） 題型：解答題

可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數列；
（2）設數列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數列{an}，使得a2012=-2011？若存在，寫出一個這樣的無窮數列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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