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如圖,△ABP中,∠APB=∠α,把△ABP繞點A逆時針旋轉60°后得到△ACE.連結BC、PE、PC,測量得∠BPC=100°.

(1)請找出圖中的兩個等邊三角形:
△ABC,△APE
△ABC,△APE
 (不再添加其它點或線)
(2)若∠α=150°,試判斷△PEC的形狀,并說明你的理由;
(3)若△CPE為等腰三角形,求∠α的度數.
分析:(1)根據旋轉的性質得到∠BAC=∠PAE=60°,AB=AC,AP=AE,然后根據等邊三角形的判定方法可確定△ABC和△APE都是等邊三角形;
(2)根據等邊三角形的性質由△APE是等邊三角形得到∠APE=∠AEP=60°,再利用旋轉的性質得∠AEC=∠APB=150°,則可計算出∠CEP=90°,∠CPE=50°,于是可判斷△PEC是直角三角形;
(3)先用α表示∠CPE=200°-α,∠CEP=α-60°,再利用三角形內角和定理計算出∠PCE=40°,然后由△CPE為等腰三角形分類討論:當∠CPE=∠CEP時,即200°-α=α-60°;當∠CPE=∠PCE時,即200°-α=40°;當∠PCE=∠CEP時,即α-60°=40°,再分別解方程求α.
解答:解:(1)∵△ABP繞點A逆時針旋轉60°后得到△ACE,
∴∠BAC=∠PAE=60°,AB=AC,AP=AE,
∴△ABC和△APE都是等邊三角形;
故答案為△ABC,△APE;

(2)∵△APE是等邊三角形,
∴∠APE=∠AEP=60°,
∵△ABP繞點A逆時針旋轉60°后得到△ACE,
∴∠AEC=∠APB=150°,
∴∠CEP=∠AEC-∠AEP=150°-60°=90°,
又∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=50°,
∴△PEC是直角三角形;

(3)∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=200°-α,
而∠CEP=∠AEC-∠AEP=α-60°,
∴∠PCE=180°-∠CPE-∠CEP=180°-(200°-α)-(α-60°)=40°,
∵△CPE為等腰三角形,下面分三種情況討論:
①當∠CPE=∠CEP時,
200°-α=α-60°,解得α=130°;
②當∠CPE=∠PCE時,
200°-α=40°,解得α=160°;
③當∠PCE=∠CEP時,α-60°=40°,解得α=100°…(12分)
綜上所述,若△CPE為等腰三角形,則α=100°,130°,160°.
點評:本題考查了旋轉的性質:旋轉前后兩圖形全等;對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.也考查了等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀材料:
如圖,△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點,點P到兩腰的距離分別為r1,r2,腰上的高為h,連接AP,則S△ABP+S△ACP=S△ABC,即:
1
2
AB•r1+
1
2
AC•r2=
1
2
AB•h
,∴r1+r2=h(定值).
(1)類比與推理
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”,即:已知等邊△ABC內任意一點P到各邊的距離分別為r1,r2,r3,等邊△ABC的高為h,試證明r1+r2+r3=h(定值).
(2)理解與應用
△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6,△ABC內部是否存在一點O,點O到各邊的距離相等?
 
(填“存在”或“不存在”),若存在,請直接寫出這個距離r的值,r=
 
.若不存在,請說明理由.精英家教網

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,△ABP中,∠APB=120°,點C、D在線段AB上,△PCD是等邊三角形,請根據所述條件,判斷下列論斷:①CD2=AC•DB;②AP2=AC•AB;③AP•PC=PD•PB;④BP2-BD2=AD•DB,其中正確的個數是(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

如圖,△ABP中,∠APB=∠α,把△ABP繞點A逆時針旋轉60°后得到△ACE.連結BC、PE、PC,測量得∠BPC=100°.

(1)請找出圖中的兩個等邊三角形:______ (不再添加其它點或線)
(2)若∠α=150°,試判斷△PEC的形狀,并說明你的理由;
(3)若△CPE為等腰三角形,求∠α的度數.

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科目:初中數學 來源: 題型:單選題

如圖,△ABP中,∠APB=120°,點C、D在線段AB上,△PCD是等邊三角形,請根據所述條件,判斷下列論斷:①CD2=AC•DB;②AP2=AC•AB;③AP•PC=PD•PB;④BP2-BD2=AD•DB,其中正確的個數是


  1. A.
    4
  2. B.
    3
  3. C.
    2
  4. D.
    1

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