Question

如圖，△ABP中，∠APB=∠α，把△ABP繞點A逆時針旋轉60°后得到△ACE．連結BC、PE、PC，測量得∠BPC=100°．

（1）請找出圖中的兩個等邊三角形：

△ABC，△APE

 （不再添加其它點或線）
（2）若∠α=150°，試判斷△PEC的形狀，并說明你的理由；
（3）若△CPE為等腰三角形，求∠α的度數．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質得到∠BAC=∠PAE=60°，AB=AC，AP=AE，然后根據等邊三角形的判定方法可確定△ABC和△APE都是等邊三角形；
（2）根據等邊三角形的性質由△APE是等邊三角形得到∠APE=∠AEP=60°，再利用旋轉的性質得∠AEC=∠APB=150°，則可計算出∠CEP=90°，∠CPE=50°，于是可判斷△PEC是直角三角形；
（3）先用α表示∠CPE=200°-α，∠CEP=α-60°，再利用三角形內角和定理計算出∠PCE=40°，然后由△CPE為等腰三角形分類討論：當∠CPE=∠CEP時，即200°-α=α-60°；當∠CPE=∠PCE時，即200°-α=40°；當∠PCE=∠CEP時，即α-60°=40°，再分別解方程求α．

解答：解：（1）∵△ABP繞點A逆時針旋轉60°后得到△ACE，
∴∠BAC=∠PAE=60°，AB=AC，AP=AE，
∴△ABC和△APE都是等邊三角形；
故答案為△ABC，△APE；

（2）∵△APE是等邊三角形，
∴∠APE=∠AEP=60°，
∵△ABP繞點A逆時針旋轉60°后得到△ACE，
∴∠AEC=∠APB=150°，
∴∠CEP=∠AEC-∠AEP=150°-60°=90°，
又∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=50°，
∴△PEC是直角三角形；

（3）∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=200°-α，
而∠CEP=∠AEC-∠AEP=α-60°，
∴∠PCE=180°-∠CPE-∠CEP=180°-（200°-α）-（α-60°）=40°，
∵△CPE為等腰三角形，下面分三種情況討論：
①當∠CPE=∠CEP時，
200°-α=α-60°，解得α=130°；
②當∠CPE=∠PCE時，
200°-α=40°，解得α=160°；
③當∠PCE=∠CEP時，α-60°=40°，解得α=100°…（12分）
綜上所述，若△CPE為等腰三角形，則α=100°，130°，160°．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．