Question

有6個木箱，編號為1、2、3、…、6，每個箱子有一把鑰匙，6把鑰匙各不相同，每個箱子放進一把鑰匙鎖好：先挖開1、2號箱子，可以取出鑰匙去開箱子上的鎖，如果最終能把6把鎖都打開，則說這是一種放鑰匙的“好”的方法，那么“好”的方法共（ ）種．

1. A.
   120
2. B.
   180
3. C.
   216
4. D.
   240

Answer 1

D
分析：根據題意可知，如果1、2號箱中正好是1和2號箱的鑰匙則沒有好方法打開所有的箱子．除此之外還有兩種可能：1．其中有一個．有4×2×2=16種情況，并且是循環排列，例如，1號箱是1，2號箱是3，接下來3號箱子就只能是4，5，6，不能是2．當3號箱是4時，4號箱就只能是5，6，因此每種情況就有3×2=6種“好”方法，則共有16×6=96種．
2．一個也沒有．有4×3=12種情況，每種情況有8種“好”方法，例如前面是3，4，如果3號箱是5，那么6就可以在4號箱和5號箱，有2×2=4種；如果3號箱是6，那么5就可以在4號箱和6號箱，有2×2=4；如果3號箱是1或2，也4種，即共4×3=12種．則共有12×12=144種．
綜合起來就共有96+144=240種“好”方法
解答：根據題意可知，
（1）如果1、2號箱中其中有一個鑰匙是1、2號箱的．有4×2×2=16種情況，并且是循環排列，例如，1號箱是1，2號箱是3，接下來3號箱子就只能是4，5，6，不能是2．當3號箱是4時，4號箱就只能是5，6，因此每種情況就有3×2=6種“好”方法．
則共有“好”方法：16×6=96（種）．
（2）如果1、2號箱中的鑰匙其中一個也沒有是1、2號箱的．
有4×3=12種情況，每種情況有8種“好”方法，例如前面是3，4，如果3號箱是5，那么6就可以在4號箱和5號箱，有2×2=4種；如果3號箱是6，那么5就可以在4號箱和6號箱，有2×2=4；如果3號箱是1或2，也4種，即共4×3=12種．
則共有“好”方法：12×12=144（種）
綜合起來就共有“好”方法：96+144=240（種）．
答：共有240種“好”方法．
故選D．
點評：這是一個難度較高的排列組合的應用題．此題的解題方法是把1、2號箱中鑰匙的情況區分為3種，由題意篩選出符合題意的兩種，進而分析每一種情況下的不同放法有哪些．最后歸納出一共有多少“好”方法．