Question

在紙上寫著一列自然數1，2，…，98，99．一次操作是指將這列數中最前面的三個數劃去，然后把這三個數的和寫在數列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．這樣不斷進行下去，最后將只剩下一個數，則最后剩下的數是

4950

．

Answer 1

分析：在紙上寫著一列自然數1，2，…，98，99．一次操作是指將這列數中最前面的三個數劃去，然后把這三個數的和寫在數列的最后面．前99的數劃了33次，作為第一輪，得到了33個數，6，15，24，33，…，294．-----------（1）這個數列（1）是以6為第一項，9為公差，共33項的等差數列，這33個數的和也是第一輪99個數的和；繼續劃，11次后這33個數又劃去了，得到
11個數，這個數列（2）是以45為第一項，81為公差，共11項的等差數列，作為第二輪，這11個數的和=第二輪這33個數的和=第一輪99個數的和；第三輪，是11÷3=3…2，這
11個數劃3次得3個新數，先劃余下的兩個數774、855和第一個新數378，這3個新數的和與劃余下的2個數的和=第三輪開始的11個數的和=第二輪這33個數的和=第一輪99個數的和；第四輪，與原來的2個和在一起5個數，5÷3=1…2，得一個新數，和第四輪余下的2個數的和=第四輪開始時的5個數的和=第三輪開始的11個數的和=第二輪這33個數的和=第一輪99個數的和；第五輪，上次得1個新數和余下的2個，正好3個，一次劃完，得到一個數，不能再劃，這個數=第五輪開始的5個數的和=第四輪開始時的5個數的和=第三輪開始的11個數的和=第二輪這33個數的和=第一輪99個數的和，最后的這一個數就是1+2+3+4…+99，利用高斯求和法可得解．
即：（1+2+3）+（4+5+6）+（7+8+9）+（10+11+12）+（13+14+15）+（16+17+18）+（19+20+21）+…+（91+92+93）+（94+95+96）+（97+98+99）
=（6+15+24）+（33+42+51）+（60+69+78）+（87+96+105）+（114+123+132）+（141+150+159）+（168+177+186）+（195+204+213）+（222+231+240）+（249+258+267）+（276+285+294）
=774+855+（45+126+207）+（288+369+450）+（531+612+693）
=1107+1836+（774+855+378）
=（1107+1836+2007）
=4950．

解答：解：1+2+3+4+…+99
=（1+100）×（100÷2）-100
=101×50-100
=5050-100
=4950
答：最后剩下的數是4950．
故答案為：4950．

點評：此題考查了數列中的規律．關鍵是發現最后只剩一個數，這個數就是1到99的和．