Question

已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們都小于2002，其中最小的一個(gè)自然數(shù)能被13整除，中間的一個(gè)自然數(shù)能被15整除，最大的一個(gè)自然數(shù)能被17整除．那么，最小的一個(gè)自然數(shù)是

1664

．

Answer 1

分析：設(shè)中間的一個(gè)數(shù)是N，（N-1）能被13整除；N能被15整除；（N+1）能被17整除；那么可以把N表示成帶余除法形式．有N-1=13A，N=18B，N+1=17C，可得：N=13A+1，N=15B，N=17C-1，（A，B，C是非0自然數(shù)）．根據(jù)以上我們可以把原題轉(zhuǎn)化成“有一個(gè)自然數(shù)除以13余1，除以15余0，除以17余16，求這個(gè)小于2002的自然數(shù)是多少；解決問(wèn)題．

解答：答：本題所求的數(shù)有三個(gè)要求，我們采取逐個(gè)滿足的方法．因?yàn)?3A+1=15B得：A=

15B-1

13

=

13B+2B-1

13

=B+

2B-1

13

，
到此可抓住式子的特點(diǎn)，看出A或B的取值．有上式可看出B最小取7，

2B-1

13

可得整數(shù)1，則當(dāng)B=7時(shí)，A=8，此時(shí)N=105，這時(shí)已滿足了前兩個(gè)要求，但105除以17不余16，
接著我們可以105不斷的加13和15的最小公倍數(shù)的倍數(shù)，（這樣的目的是為了使前兩個(gè)的要求不變，加13的倍數(shù)除以13還余1，加15的倍數(shù)除以15還整除）直到找到有一個(gè)除以17余16的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是最小的一個(gè)．
13和15的最小公倍數(shù)是195，我們可以把可以把符合除以17余16的數(shù)用105+195D來(lái)表示，當(dāng)然一個(gè)個(gè)試105+195D是否能除以17余16比較麻煩，可我們?nèi)匀豢梢杂们懊娴姆椒ǎ?BR>因?yàn)?05+195D=17C-1，得D=

195D+106

17

=

17×11D+8D+6×17+4

17

=11D+6+

8D+4

17

，看

8D+4

17

，8D+4要是17的倍數(shù)比較容易確定，8D+4是偶數(shù)，
因此只能是17的偶數(shù)倍，34不行，68時(shí)，D=8．當(dāng)D=8時(shí)，C=11×8+6+

8×8+4

17

=98，則N=17×98-1=1664，故已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們都小于2002，其中最小的一個(gè)自然數(shù)能被13整除，中間的一個(gè)自然數(shù)能被15整除，最大的一個(gè)自然數(shù)能被17整除．那么，最小的一個(gè)自然數(shù)是 1664．
故答案為：1664．

點(diǎn)評(píng)：這道題用轉(zhuǎn)化法解就簡(jiǎn)單些了．