Question

17．底面周長相等，高也相等的長方體和圓錐體，它們的體積相比，圓錐體體積（　　）長方體體積的-半．

• A． 大于
• B． 小于
• C． 等于
• D． 無法確定

Answer 1

分析 當長方體的底面為正方形時，體積最大；假設它們的底面周長為c，高為h，當長方體的底面為正方形時，長方體的體積為（$\frac{1}{4}$c）²h，圓錐的體積為：$\frac{1}{3}$π（$\frac{c}{2π}$）²h，然后用圓錐體積和長方體的體積的一半比較，如果圓錐的體積比長方體體積的一半大，那么可以確定不論長方體的底面為正方形還是長方形，圓錐體積一定大于長方體體積的一半，如果圓錐的體積比長方體體積的一半小，就無法確定當長方體的底面為長方形時他們體積的大小，由此做出判斷．

解答 解：當長方體的底面為正方形時，體積最大；
設長方體和圓錐的底面周長為c，高為h，
當長方體的底面為正方形時，長方體的體積為（$\frac{1}{4}$c）²h，
圓錐的體積為：$\frac{1}{3}$π（$\frac{c}{2π}$）²h，
$\frac{1}{3}$π（$\frac{c}{2π}$）²h：$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}$c）²h
=$\frac{1}{3π}$：$\frac{1}{8}$
=$\frac{8}{3π}$，
因為$\frac{8}{3π}$＜1，
所以圓錐的體積小于長方體體積的一半，
當長方體的底面不是正方形時，長方體的體積會減少，
此時圓錐的體積與長方體體積的一半的大小無法確定．
故選：D．

點評 本題考查了長方體和圓錐的體積計算方法，難度在于長方體的底面周長一定時，因為形狀不定，所以底面積不確定，因此體積也不確定．