Question

一個木匠師傅要把1米長的木條鋸成38毫米和90毫米長的小木條，每鋸一次都要損耗1毫米，當鋸得的這兩種小木條各多少段時，損耗的木條才能最少？

Answer 1

分析：根據題意可知，同樣長度的木條鋸的次數越少則損耗的就越少，要想分割的次數越少就要使每一段的長度最大．本題中就是要讓90毫米的木條達到最多，而讓38毫米的木條最少．因為鋸一次要損耗1毫米木條，我們設38毫米、90毫米的木條分別鋸X段、Y段，那么，根據題意，有：38X+90Y=1000-（X+Y-1）×1．要使損耗最少，就應盡可能多鋸90毫米長的木條，也就是說上面式中的X應盡可能小，Y盡可能大．將X的值按由小到大順序，用試代法代入，解這個不定方程就不難得到答案了．

解答：解：設38毫米、90毫米的木條分別鋸X段、Y段，那么根據題意有：
     38X+90Y=1000-（X+Y-1）×1
     即39X+91Y=1001
要使損耗最少，就應盡可能多鋸90毫米長的木條，也就是說上面式中的X應盡可能小，Y盡可能大．
將X的值按由小到大順序，用試代法代入，解這個不定方程得：
當X=1時，Y=10.57； 當X=2時，Y=10.14； 當X=3時，Y=9.71；
當X=4時，Y=9.28；  當X=5時，Y=8.86；  當X=6時，Y=8.43；
當X=7時，Y=8；…當X=14時，Y=5；…
因為根據題意X、Y都必須是自然數，
所以，X=7，Y=8．才是符合題意的解．
此時損耗的木條長度是：（7+8-1）×1=14（毫米）．
而當X=14，Y=5時，損耗的木條長度是：（14+5-1）×1=18（毫米）
因為14＜18．所以X=14，Y=5不是符合題意的解．
所以只有當38毫米的木條鋸7段，90毫米的木條鋸8段時，損耗最少．
答：只有當鋸得的38毫米的木條鋸為7段、90毫米的木條為8段時，所損耗的木條才能最少．

點評：這是一個解不定方程，求最小值（或最大值）的應用題，解題時要分清題目要求的是什么最小；什么最大．本題中我們要損耗最小，就要每段的長度最大，鋸木條的次數最少．