Question

（2006•綿陽）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O．
（1）在圖中作出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：BC為⊙O的切線；
（3）若AC=3，tanB=，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AD是弦，所以圓心O即在AB上，也在AD的垂直平分線上；
（2）因為D在圓上，所以只要能證明OD⊥BC就說明BC為⊙O的切線；
（3）根據∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再結合三角形相似就可求出圓的半徑的長度．
解答：（1）解：如圖，（2分）

（2）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC．（3分）
又∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，（5分）
∴BC是⊙O的切線；（6分）

（3）解：在Rt△ABC中，AC=3，tanB=．
∴BC=4，
∴AB==5，（7分）
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，（8分）
所以，
∴OA=OD=．（10分）
點評：本題綜合考查了切線的判定，解直角三角形和相似三角形的性質應用．