Question

【題目】觀察下面按規律排起的一列數：，，，，，，，，，，，，，，，…

（1）若將左起第m個數記為F（m），當F（m）=時，求m的值和這個m個數的積．

（2）在此列數中，未經約分且分母為2的數記為a，他后面的一個數記為b，且存在這樣的兩個數a和b，使ab=2001000，求出a和b．

Answer 1

【答案】（1）F（m）=時，所有數的乘積就（2）A=， b=．

【解析】

試題分析：（1）分子依次為1，1，2，1，2，3，1，2，3，4…

分母依次為1，2，1，3，2，1，4，3，2，1…

即每一次以分子是1開始的分為一組，分母則與分子是倒過來，直到分母變成1；

第1個分子分母和為2，1個分數，

第2，3個分子分母和為3，分子從1到2，2個分數，

第4，5，6個分子分母和為4，分子從1到3，3個分數

…

每組中各個分數的分子與分母的和是相等的，分子與分母的和是n時，這組有n﹣1個數；

F（m）=時，分子與分母的和是2+2001=2003，所以F（m）=之前這組只有一個分數是，前面一組的分子與分母的和是2002，所以在F（m）=時，有1+2+3…+2001+2個分數；

=1，

×=1，

××=1，

×××=1，

每組數的乘積都是1，那么F（m）=時，所有數的乘積就是×；

（2）先設第n組a=，則d=，根據ab=2001000，列方程求解即可．

解答：解：分組：（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），（…）…（，，…）每組數的積都是1；

F（m）=時，

m=1+2+3…+2001+2

=（1+2001）×2001÷2+2

=2002×2001÷2+2

=2003001+2

=2003003；

這些數的積是：×=；

（2）a為某組倒數第二個數，b為該組最后一個數，

設它們在第n組a=a=，則d=，根據ab=2001000，

則=2001000，

a=，

b=．