Question

10．判斷分數$\frac{21n+4}{14n+3}$是不是最簡分數？（n為自然數）

Answer 1

分析 此題可用反證法證明，先設21n+4與14n+3的最大公約數為x，設21n+4=ax，14n+3=bx，求出只存在最大公約數1，然后即可證明對任意自然數n，分數$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可約分．

解答 解：設21n+4與14n+3的最大公約數為x，
設21n+4=ax①，14n+3=bx②，（a，b，x均為正整數），
②×3-①×2得：3bx-2ax=3（14n+3）-2（21n+4），
整理得：（3b-2a）x=1，
因為a，b，x均為正整數，
所以3b-2a為正整數，
所以x的值只能為1，
即最大公約數為1，
所以對任意自然數n，分數$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可約分，也就是分數$\frac{21n+4}{14n+3}$是最簡分數．
答：分數$\frac{21n+4}{14n+3}$是最簡分數．

點評 本題考查了數的整除性，此題運用反證法證明21n+4和14n+3的最大公約數為1，即說明了無論自然數n取何值，分數分數$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可約分，此題考查了同學們的邏輯思維能力，有一定的難度．