Question

已知38²=1444，像1444這樣能表示為某個自然數的平方，并且抹3位數字為不等于0的相同數字，我們就定義為“好數”．
（1）請再找出一個“好數”．
（2）討論所有“好數”的個位數字可能是多少？
（3）如果有一個好數的末4位數字都相等，我們就稱之為“超好數”，請找出一個“超好數”，或者證明不存在“超好數”．

Answer 1

分析：（1）因為38²=1444，所以1038²=1077444；則10038²，100038²…等都可以是“好數”． （2）據完全平方數的性質可知，平方末尾數字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考慮．因此可從平方末位數是 1，4，9，6，5幾種情況進行討論驗證所有“好數”的個位數字可能是多少．（3）假設存在超好數，設為1000n+38； 則有：（1000n+38）平方=1000000n平方+76000n+1444=1000×（1000n平方+76n+1）+444 （1000n平方+76n+1）不可能被4整除；也就是不可能得到倒數第四位為4；，故假設不成立． 即：不存在超好數．

解答：解：（1）因為38²=1444，所以1038²=1077444；則10038²，100038²…等都可以是“好數”．
（2）方數的性質可知，完全平平方末尾數字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考慮．
末尾數是5的平方尾數一定是25，故不可能是5；
對于1，設（10a+1）的平方滿足X111；而（10a+1）的平方=20a×（5a+1）+1；倒數第二位一定是偶數，不符合題意；
對于9，設（10a+3）的平方滿足X999；而（10a+3）平方=20a×（5a+1）+9，倒數第二位一定是偶數，不符合題意；
又設（10a+7）平方滿足X999；而（10a+7）的平方=20a×（5a+7）+1；倒數第二位一定是偶數，不符合題意；
對于6，設（10a+4）平方滿足X666；而（10a+4）的平方=（100a平方+80a+10）+6，倒數第二位一定是奇數，不符合題意；
設（10a+6）的平方滿足X666；而（10a+6）的平方=10×（10a×a+12a+3）+6；倒數第二位一定是奇數，不符合題意；
故好數的個位數字只能是4．
（3）假設存在超好數，設為1000n+38； 則有：（1000n+38）平方=1000000n平方+76000n+1444=1000×（1000n平方+76n+1）+444 （1000n平方+76n+1）不可能被4整除；
也就是不可能得到倒數第四位為4；，故假設不成立．
即：不存在超好數．

點評：完成本題要在了解完全平方數性質的基礎上，根據數據的特點，針對不情況進行分析，從而得出結論．