Question

（1）請從1，2，3，…，2011中找出1006個數，使得這1006個數中不存在兩個數，其中一個是另一個的倍數．
（2）證明：從1，2，3，…，2011中，任意取出1007個數，其中都存在兩個數，其中一個是另一個的倍數．

Answer 1

證明：由于任何一個自然數都可以表示成一個奇數與2ⁿ和乘積的形式，而且這種表示方法是惟一的．因此，我們可以按下面的方法來構造1006個抽屜：
{1，1×2，1×2²，1×2³，1×2⁴，1×2⁵，1×2⁶，1×2⁷，1×2⁸，1×2⁹，1×2¹⁰}；
{3，3×2，3×2²，3×2³，3×2⁴，3×2⁵，3×2⁶，3×2⁷，3×2⁸，3×2⁹}；
{5，5×2，5×2²，5×2³，5×2⁴，5×2⁵，5×2⁶，5×2⁷，5×2⁸}；
…；
{1005，1005×2}；
{1007}；
{1009}；
…；
{2011}．
（1）從這1006個抽屜中每個中取1個數，共取1006個數，根據抽屜原則，能夠從1，2，3，…，2011中找出1006個數，使得這1006個數中不存在兩個數，其中一個是另一個的倍數；（2）從這1006個抽屜中任取1007個數，根據抽屜原則，從1，2，3，…，2011中，任意取出1007個數，其中都存在兩個數，其中一個是另一個的倍數．
分析：根據抽屜原理：任何一個自然數都可以表示成一個奇數與2ⁿ和乘積的形式，而且這種表示方法是惟一的．可構造1006個抽屜，從而驗證這兩個結論．
點評：本題是一道競賽題，考查了抽屜原理，解決此題的關鍵是寫出這1006個抽屜．