Question

如圖是一個向右和向下方可以無限延伸的棋盤，橫排為行，豎排為列，將自然數按已填好的4×4個方格中的數字顯現的規律填入方格中．
（1）求位于第3行、第8列的方格內的數；
（2）寫出位于從左上角向右下角的對角線
上的方格內的數組成的數列的第10個數；
（3）數321在哪一個方格內？

Answer 1

分析：（1）在第3行中，由左向右的數字依次是：a₁=6，a₂=9=a₁+3，a₃=13=a₂+4，a₄=18=a₃+5，a_n=a_n-1+（n+1）．
（2）位于從左上角到或下角的對角線上的方格內的數字依次是：b₁=1，b₂=5=b₁+4×1，b₃=13=b₂+4×2，b₄=25=b₃+4×3，b_n+1=b_n+4n．
（3）為求數321在哪個方格內，可將棋盤上的數按從右上到左下的對角線方向排列如下：
（3）為求數321在哪個方格內，可將棋盤上的數按從右上到左下的對角線方向排列如下：
第1組1
第2組2，3
第3組4，5，6
第4組7，8，9，10
顯然，從第1組到第n組共包含1+2+3++n=

n(n+1)

2

個數，故第n組中最大數是

n(n+1)

2

．

解答：解：a₈=a₇+9=a₆+8+9═a₄+6+7+8+9=18+30=48．
答：位于第3行、第8列的方格內的數是48．
（2）b_n+1=b_n+4n
b₁₀=b₉+4×9=b₈+4×8+4×9
=b₄+4×4+4×5+4×6+4×7+4×8+4×9
=25+4×（4+5+6+7+8+9）
=181．
答：第10個數為181．
（3）321是第321個數，321所在“組”的行號是滿足

n(n+1)

2

≥321的最小自然數n，
從

24?25

2

=300和

25?26

2

=325，可得n=25．
前24組共有1+2+3++24=300個數，因而321是第25組中第321-300=21個數．
答：321位于第21行，第5列的方格內．

點評：本題是較復雜的數陣問題，先找到所求的行或列的規律，再根據規律求解．