Question

【題目】求下列圖形的面積（體積）：

（1）圖1中陰影部分的面積是50cm2，求環形的面積．

（2）圖2中以直角梯形的高AB為軸旋轉一周，求旋轉體的體積．（單位：cm）

Answer 1

【答案】（1）環形的面積是157平方厘米（2）旋轉體的體積為24727.5立方厘米

【解析】

試題分析：（1）大圓半徑為R，小圓半徑為r，陰影部分的面積為大三角形減去小三角形，連接圓心到三角形的頂點，可得：大三角形面積等于R×R÷2×2=R2；小三角形面積等于r×r÷2×2=r2．進而可得R2﹣r2=50平方厘米，環形面積為3.14×R2﹣3.14×r2=3.14×（R2﹣r2）=3.14×50=157平方厘米，從而得解；

（2）以直角梯形的高AB為軸旋轉一周，旋轉體為圓臺，延長BA、CD相交于一點E，則旋轉后變成了圓錐，根據∠C=45°可得BE（大圓錐的高）等于BC等于30厘米．

AB的長度等于從D點作到BC是垂線的長度，等于30﹣15=15厘米．AE（小圓錐的高）等于BE﹣AB=30﹣15=15厘米，這樣知道底面半徑和高分別計算兩個圓錐的體積，大圓錐減去小圓錐即為圓臺體積．

解答：解：（1）連接圓心到兩個三角形的頂點可得：

大三角形面積：R×R÷2×2=R2；

小三角形面積：r×r÷2×2=r2．

因為圖中陰影部分的面積是50平方厘米，所以R2﹣r2=50平方厘米，

環形面積：3.14×R2﹣3.14×r2，

=3.14×（R2﹣r2），（把R2﹣r2=50代入）

=3.14×50，

=157（平方厘米）．

答：環形的面積是157平方厘米．

（2）延長BA、CD相交于一點E，從D點作到BC是垂線，

因為∠C=45°，三角形BCE是等腰直角三角形，可得BE（大圓錐的高）等于BC等于30厘米；

AB的長度等于從D點作到BC是垂線的長度，等于30﹣15=15厘米．

AE（小圓錐的高）等于BE﹣AB=30﹣15=15厘米；

圓臺面積：3.14×302×30×﹣3.14×152×15×，

=3.14×900×10﹣3.14×225×5，

=28260﹣3532.5，

=24727.5（立方厘米）．

答：旋轉體的體積為24727.5立方厘米．