Question

（2012?慈溪市）圓周上放有N枚棋子，如圖所示，小洪先拿走B點的一枚棋子，然后沿順時針方向每隔一枚棋子拿走兩枚棋子，這樣連續轉了10周，9次越過A，當將要第10次越過A取走其它子的時候，小洪停下來，發現圓周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍數，請精確的算出圓周上現在還有多少枚棋子．

Answer 1

分析：設圓周上余m枚棋子，因為從第九次越過A處拿走了2枚棋子，到第十次將要越過A處棋子時，小洪拿走了2m枚棋子，所以在第九次將要越過A處棋子時，圓周上有：m+2m=3m枚棋子；這樣在第八次將要越過A處棋子時，圓周上有3²m枚棋子，…在第一次將要越過A處棋子時有3⁹m枚棋子，在第一次將要越過A處棋子之前，小洪拿走了2（3⁹m-1）+1枚棋子，所以原來共有N=2（3⁹m-1）+1+3²m=3¹⁰m-1枚．然后分情況討論3²m=3¹⁰m-1必須是14的倍數滿足的條件即可．

解答：解：設圓周上余m枚棋子，因為從第九次越過A處拿走了2枚棋子，到第十次將要越過A處棋子時，小李拿走了2m枚棋子，所以在第九次將要越過A處棋子時，圓周上有：m+2m=3m枚棋子；這樣在第八次將要越過A處棋子時，圓周上有3²m枚棋子，…在第一次將要越過A處棋子時有3⁹m枚棋子，在第一次將要越過A處棋子之前，小李拿走了2（3⁹m-1）+1枚棋子，所以原來共有N=2（3⁹m-1）+1+3²m=3¹⁰m-1枚．
如果N=3¹⁰m-1=59049m-1是14（2×7）的倍數，那么m必須是奇數，而59049m-1=（7×8435+4）m-1=7×8435m+4m-1是7的倍數，那么4m-1就必須是7的倍數，而m=20多枚，所以m只能等于21，23，25，27，29，但是m=21，25，27，29時4m-1都不是7的倍數，只有m=23時4m-1才是7的倍數，所以當N是14的倍數，則圓周上還有23枚棋子．

點評：本題關鍵是根據每次取走的個數是余下的個數的2倍，得出總個數3¹⁰m-1枚，難點是分情況討論3¹⁰m-1必須是14的倍數滿足的條件．