Question

12．如圖，梯形的上底為a，下底長為b，高為h，證明梯形的面積S_梯=$\frac{1}{2}$（a+b）h（用三種方法證明）

Answer 1

分析 第一種，如圖一：從A和D分別向BC邊作垂線，那么梯形面積就是兩個三角形加中間的矩形，三角形面積和矩形面積相加就得出結果，矩形面積=a×h，假設兩個三角形的底分別為e，f，那么面積是$\frac{1}{2}$（e×h），$\frac{1}{2}$（f×h），而e+f=b-a相加，面積=a×h+$\frac{1}{2}$（e×h）+$\frac{1}{2}$（f×h）=$\frac{1}{2}$（a+b）h；
第二種，如圖二：從A向BC變作平行于CD的線，那么梯形面積就是三角形加平行四邊形面積
平行四邊形面積=a×h，三角形面積=$\frac{1}{2}$（b-a）h，相加=$\frac{1}{2}$（a+b）h；
第三種，如圖三：連接AC，梯形面積就是兩個三角形面積相加．兩個三角形面積分別為：$\frac{1}{2}$ah，$\frac{1}{2}$bh，相加=$\frac{1}{2}$（a+b）h．

解答 解：證明（1）如圖一：從A和D分別向BC邊作垂線交BC于E和F，設BE=e，CF=f，
三角形ABE和三角形DCF的高：AE=DF=h，
因為三角形ABE的面積=$\frac{1}{2}$e×h，三角形DCF的面積=$\frac{1}{2}$f×h，矩形面積=a×h，e+f=b-a，
所以梯形ABCD的面積=三角形ABE的面積+矩形AEFD的面積+三角形DCF的面積=$\frac{1}{2}$e×h+a×h+$\frac{1}{2}$f×h=$\frac{1}{2}$（e+f）h+a×h=$\frac{1}{2}$（b-a）h+ah=$\frac{1}{2}$（a+b）h

證明（2）如圖二：從A和D分別向BC邊作垂線交BC于E和F，從A向BC作平行于CD的線，交BC于G，則GC=AD=a，
三角形ABG和平行四邊形AGCD的高：AE=DF=h，BG=b-a，
因為平行四邊形AGCD的面積=a×h，三角形ABG的面積=$\frac{1}{2}$（b-a）h，
所以梯形ABCD的面積=平行四邊形AGCD的面積+三角形ABG的面積=a×h+$\frac{1}{2}$（b-a）h=$\frac{1}{2}$（a+b）h

證明（3）如圖三：從A向BC邊作垂線交BC于E，從C向AD作垂線交AD的延長線于F，連接AC，
則三角形ABC的高和三角形CDA的高：AE=CF=h，
因為三角形ABC的面積=$\frac{1}{2}$b×h，三角形ACD的面積=$\frac{1}{2}$a×h，
所以梯形ABCD的面積=三角形ABC的面積+三角形ACD的面積=$\frac{1}{2}$b×h+$\frac{1}{2}$a×h=$\frac{1}{2}$（a+b）h

點評 此題主要考查梯形的面積公式推導的方法．