Question

甲、乙、丙三人分糖塊，分法如下：先取三張一樣的紙片，在紙片上各寫一個正整數p、q、r，使p＜q＜r．分糖塊時，每人抽一張紙片（同一輪中抽出的紙片不放回去），然后把紙片上的數減去p，就是他這一輪分得的糖塊數．經過若干輪這樣的分法后，甲共得到20塊糖，乙共得到10塊糖，丙共得到9塊糖．又知最后一次乙拿到的紙片上寫的數是r，而丙在各輪中拿到的紙片上寫的數之和是18，則p、q、r分別是哪三個正整數？為什么？

Answer 1

分析：根據每一輪三人得到的糖塊數之和為r+q+p-3p=r+q-2p，得出n輪后等式方程n（r+q-2p）=20+10+9=39，進而得出n的值，即可得出拿到紙片p的人數，以及q的值．

解答：解：每一輪三人得到的糖塊數之和為r+q+p-3p=r+q-2p，
設他們共分了n輪，則n（r+q-2p）=20+10+9=39①，
39=1×39=3×13，且n≠1（否則拿到紙片p的人得糖數為0，與已知矛盾）；
n≠39（因p＜q＜r，所以每輪至少分出3塊糖，不可能每輪只分出一塊糖），
則n=3或n=13由于每人所得的糖塊數是他拿到的紙片上的數的總和減去np，由丙的情況得到9=18-np，
可得np=9，
又p是正整數，即p≥1．
則n≠13，
所以n=3，p=3．
把n=3，p=3代入①式得r+q=19．
由于乙得的糖塊總數為10，最后一輪得到r-3塊，
則r-3≤10，r≤13．
若r≤12，則乙最后一輪所得的糖數為r-p≤9，這樣乙必定要在前兩輪中得一張q或r．
這樣乙得的總糖數大于或等于（r+q）-6=13，這與已知“乙得的糖塊總數為10”矛盾，
則r＞12．
又12＜r≤13，
則r=13，
由q=19-r=6．知“乙得的糖塊總數為10”矛盾，則，r＞12．因為12＜r≤13，所以r=13，q=19-r=6．
即p=3，q=6，r=13．

點評：此題主要考查了整數問題的綜合應用，根據已知得出n（r+q-2p）=20+10+9=39進而利用整數性質求出n，p的值是解題關鍵．