Question

19．計算：$\frac{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…-\frac{1}{98}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}}{\frac{1}{1+101}+\frac{1}{2+102}+\frac{1}{3+103}+…\frac{1}{49+149}+\frac{1}{50+150}}$．

Answer 1

分析 先分別化簡分子與分母，分子變為1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{100}$-2×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{100}$），化簡得$\frac{1}{51}$+$\frac{1}{52}$+$\frac{1}{53}$+…$\frac{1}{100}$；分母變為$\frac{1}{102}$+$\frac{1}{104}$+$\frac{1}{106}$+…+$\frac{1}{200}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{51}$+$\frac{1}{52}$+$\frac{1}{53}$+…$\frac{1}{100}$），所以分子除以分母即可得出結果．

解答 解：分子=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…-$\frac{1}{98}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$
=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{100}$-2×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{100}$）
=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{100}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{50}$）
=$\frac{1}{51}$+$\frac{1}{52}$+$\frac{1}{53}$+…$\frac{1}{100}$
分母=$\frac{1}{102}$+$\frac{1}{104}$+$\frac{1}{106}$+…+$\frac{1}{200}$
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{51}$+$\frac{1}{52}$+$\frac{1}{53}$+…$\frac{1}{100}$）
所以分子÷分母=（$\frac{1}{51}$+$\frac{1}{52}$+$\frac{1}{53}$+…$\frac{1}{100}$）÷[$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{51}$+$\frac{1}{52}$+$\frac{1}{53}$+…$\frac{1}{100}$）]=2
因此：$\frac{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…-\frac{1}{98}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}}{\frac{1}{1+101}+\frac{1}{2+102}+\frac{1}{3+103}+…\frac{1}{49+149}+\frac{1}{50+150}}$=2．

點評 此題解答的關鍵在于靈活化簡分子與分母，從而進行簡算．