Question

1．將1～13分別填入右圖四個圓相互分割成的13個區域，然后把每個圓內的7個數相加，最后把四個圓的和再相加，總和最大是多少？最小是多少？

Answer 1

分析 經過觀察發現，圖中13個區域可以分成四種情況；第一種是四個圓的公共部分，第二種是三個圓的公共部分，第三種是二個圓的公共部分，第四種是一個圓單獨的部分．由于題目要求總和最大，應滿足圓與圓之間重疊次數較多的區域填盡可能大的數，如下圖，區域a屬于4個圓，應填13，b，c，d，e四個區域各屬于3個圓，應填12，11，10，9，f，g，h，I四個區域，各屬于2個圓，應填8，7，6，5，剩下四個區域只各屬于1個圓，填最小的1，2，3，4，此時總和最大；
要想得到最小的值那么最大的幾個數只能用的次數最少，所以只能填在最外面，只能用一次；重疊次數的越多的地方所填的數要越小，每個圓的和要接近．所以最大的四個數10、11、12、13填在四個圓的外面，6、7、8、9填在兩個圓的相交處，2、3、4、5填在三個圓的相交處，1填在四個圓的相交處，這樣就可以得到這個總和的最小值，據圖計算即可．

解答 解：如下圖，區域a屬于4個圓，應填13，
b，c，d，e四個區域各屬于3個圓，應填12，11，10，9，
f，g，h，I四個區域，各屬于2個圓，應填8，7，6，5，
剩下四個區域只各屬于1個圓，填最小的1，2，3，4，
此時總和最大，為：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240

答：總和最大是240；
如圖，根據分析把最大的數分別填在四個圓的外面，然后越往里面的數越小．

最小值為：10+11+12+13+（6+7+8+9）×2+（2+3+4+5）×3+1×4，
=46+60+42+4，
=152．
答：這個總和的最小可能值是152．

點評 此題考查了最大最小和圖形的結合問題，把數字分成四部分，最大的數放在重疊次數多的地方，總和最大；大數用的次數最少入手，總和最小．