Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接OA，AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，再根據拋物線過原點可求出a的值，故可得出拋物線的解析式；
（2）由拋物線的對稱性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO，由△BOP與△AOB相似可知∠POB=∠BOA=∠BPO，設OP交拋物線的對稱軸于C點，求出C點坐標及直線OP的解析式，把拋物線的解析式與直線OP的解析式組成方程組即可求出P點坐標，過P作PE⊥x軸，在Rt△BEP中利用勾股定理可求出BP的長，由PB≠OB可知∴△PBO與△BAO不相似，同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點．

解答：解：（1）由題意可設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1．
∵拋物線過原點，
∴0=a（0-2）²+1，
∴a=-

1

4

．
故拋物線的解析式為y=-

1

4

(x-2)2+1，即y=-

1

4

x2+x． 

（2）如圖，由拋物線的對稱性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
∵△BOP與△AOB相似，
∴∠POB=∠BOA=∠BPO．
設OP交拋物線的對稱軸于C點，
∴C（2，-1），
∴直線OP的解析式為y=-

1

2

x，
∵拋物線與直線OP有交點，
∴-

1

2

x=-

1

4

x²+x，
解得x₁=0，x₂=6．
∴P（6，-3）．
過P作PE⊥x軸，
在Rt△BEP中，
∵BE=2，PE=3，
∴PB=

22+32

=

13

≠4．
∴PB≠OB．
∴∠BOP≠∠BPO．
∴△PBO與△BAO不相似，
同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點．
故在該拋物線上不存在點P，使得△OBP與△OAB相似．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，此題涉及到用待定系數法求二次函數的解析式、相似三角形的性質、勾股定理等相關知識，難度適中．