Question

兩個不等的自然數a和b，較大的數除以較小的數，余數記為a☉b，比如5☉2=1，7☉25=4，6☉8=2．
（1）求1991☉2000，（5☉19）☉19，（19☉5）☉5；
（2）已知11☉x=2，而x小于20，求x；
（3）已知（19☉x）☉19=5，而x小于50，求x．

Answer 1

分析：根據題意，可知兩個不等的自然數a和b，較大的數除以較小的數，余數記為a☉b，這是一種新的計數方法，再根據我們學習的有關有余數的除法就可以求出結果．

解答：解：（1）因為 2000÷1999=1…2
所以1991☉2000=9；
由19÷5=3…4 則5☉19=4，可得（5☉19）☉19=4☉19，又因19÷4=4…3，故，（5☉19）☉19=3；
由19÷5=3…4 則19☉5=4，可得（19☉5）☉5=4☉5，又因5÷4=1…1，故，（19☉5）☉5=1．
（2）我們不知道11和x哪個大（根據題意可知，x≠11），即哪個作除數，哪個作被除數，這樣就要分兩種情況討論．
1）當x＜11，這時x除11余2，11-2=9，可知x整除9．因為x應大于余數2，所以x=3或9．
2）x＞11，這時11除x余2，這說明x是11的倍數加2，但x＜20，所以x=11+2=13．
因此（2）的解為x=3，9，13．
（3）比（2）又要復雜一些，但我們可以用同樣的方法來解．
用y表示19☉x，不管19作除數還是被除數，19☉x都比19小，所以y應小于19．
y☉19=5，說明y除19余5，19-5=14，可知y整除14，由于y＞5，所以y=7或14．
當y=7時，分兩種情況解19☉x=7．
1）x＜19，此時x除19余7，19-7=12，x整除12．由于x＞7，所以x=12．
2）x＞19，此時19除x余7，x是19的倍數加7，由于x＜50，所以x=19+7=26或x=19×2+7=45．
當y=14時，分兩種情況解19☉x=14．
1）x＜19，這時x除19余14，19-14=5，x整除5，但x大于14，這是不可能的．
2）x＞19，此時19除x余14，這就表明x是19的倍數加14，因為x＜50，所以x=19+14=33．
因此，（19☉x）☉19=5有四個解，x=12，26，33，45．

點評：解答這類問題的關鍵是理解新運算所表示的意義，嚴格按規定的計算法則代入計數，把定義新符號運算轉化為熟悉的四則運算．