Question

稱能表示成1+2+3+…+k的形式的自然數為三角數，有一個四位數N，它既是三角數，又是完全平方數，N=

 

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Answer 1

分析：1+2+3+…+k的和為（1+K）×k÷2，又因為是完全平方數，因此（1+K）×k÷2=m×m，4位數的話，2000≤k×（k+1）≤20000，求出k的取值范圍，然后討論：k=2n和k=2n-1時，n的取值范圍，進而解決問題．

解答：解：（1+K）×k÷2=m×m，4位數的話，2000≤k×（k+1）≤20000 即45≤k≤140．
k=2n，n×（2n+1）=N． n與2n+1互質，所以要均為平方數．平方數末尾1、4、9、6、5、0．滿足要求的是4、9、5、0． 23≤n≤70，發現沒有．
k=2n-1，n×（2n-1）=N，同上，滿足要求是1、6、5、0，找到25，所以k=49，N=1225，m=35．

點評：此題從整體考慮，從“有一個四位數N，它既是三角數，又是完全平方數”兩方面來分析，得出結論．