Question

2010盞燈排成一排，開始都亮著．第一次從左邊第一盞燈開始，每隔一盞燈拉一下開關（即拉左數第1，3，5，…，2009盞）．第二次從右邊第一盞燈開始，每隔兩盞燈拉一下開關．第三次又從左邊第一盞燈開始，每隔三盞燈拉一下開關．三次都拉到的燈有

167

盞，亮著的還有

1174

盞．

Answer 1

分析：第一次拉開關，所有編號為奇數的燈被拉一次，第二次拉開關，所有編號能被3整除的燈被拉了一次，第三次拉開關，所有編號為“被4除余1的數”的燈被拉了一次，這樣就會得出一個規律，先求出2、3、4的最小公倍數為12，然后分析從1到12號燈三輪過后的亮滅情況，因為每12盞燈的情況為一個周期，被拉過三次的有只有9號，被拉過兩次的有（1、3、5）號三盞，被拉過一次的有（6、7、11、12）四盞，剩下的四盞沒有被拉過．因為燈被拉過偶數次（0是偶數）就會亮著，所以有3+4=7盞燈亮著．從13號到24號情況和1到12是一樣的．接下來2010÷12=167（個周期）…6（個號）剩下的6個號亮滅情況跟1到6號是一樣的．所以，這6盞燈里面沒有被拉過三次的，其中只有2010號燈被拉過1次，其他5盞都被拉過偶數次，所以這6盞燈有5盞亮著．三次都拉到的燈有167盞；亮著的燈有167×7+5=1174盞．

解答：解：由分析知：
先求出2、3、4的最小公倍數為12，
然后分析從1到12號燈三輪過后的亮滅情況，因為每12盞燈的情況為一個周期，被拉過三次的有只有9號，被拉過兩次的有（1、3、5）號三盞，被拉過一次的有（6、7、11、12）四盞，剩下的四盞沒有被拉過，
因為燈被拉過偶數次（0是偶數）就會亮著，所以有3+4=7盞燈亮著，
來2010÷12=167（個周期）…6（個號），剩下的6個號亮滅情況跟1到6號是一樣的，
所以，這6盞燈里面沒有被拉過三次的，其中只有2010號燈被拉過1次，其他5盞都被拉過偶數次，所以這6盞燈有5盞亮著，
三次都拉到的燈有167盞；亮著的燈有167×7+5=1174盞；
故答案為：167，1174．

點評：此題主要考查了整數的整除性問題，解題時根據數的整除，首先分別求出2、3、4的最小公倍數，1到12號燈三輪過后的亮滅情況是一個周期，然后進行解答即可．