Question

如圖是一個101×101的點陣，各點的位置用其下面與左邊正對的兩數來表示：若某點M下面正對的數是x，左邊正對的數是y，則稱M的位置為（x，y），如P的位置為（7，3），Q的位置為（4，7）．現有一個粒子從（0，0）出發，沿圖示路線運動，且每秒鐘移動一個單位長度，即1秒鐘后到（1，0），2秒鐘后到（1，1），…．
解答下列問題：
（1）多少秒鐘后粒子到（100，100）？
（2）2006秒后粒子到達的位置是什么？
（3）a，b是1～100內的整數且a大于b，問粒子是先到A（a，b），還是先到B（b，a）？

Answer 1

分析：（1）根據粒子的運動規律可知：從原點到（n，n）粒子運動用了n（n+1）秒鐘，依此即可求出粒子到（100，100）時的時間；
（2）由（1），當到（44，44）處，粒子運動了44×45=1980秒鐘，方向向下，到2006秒鐘，由（44，44）再向下運動2006-1980=26秒鐘，即可推得2006秒鐘這個粒子所處的位置；
（3）分a為奇數和a為偶數兩種情況討論即可得出結論．

解答：解：（1）粒子所在位置與運動的時間的情況如下：
位置：（1，1）運動了2=1×2秒鐘，方向向左；
位置：（2，2）運動了6=2×3秒鐘，方向向下；
位置：（3，3）運動了12=3×4秒鐘，方向向左；
位置：（4，4）運動了20=4×5秒鐘，方向向下；
到（n，n）處，粒子運動了n（n+1）秒鐘，方向向下，
到（100，100）處，粒子運動了100×101=10100秒鐘，方向向下，
答：10100秒鐘后粒子到（100，100）．

（2）到（44，44）處，粒子運動了44×45=1980秒鐘，方向向下，
故到2006秒鐘，須由（44，44）再向下運動2004-1980=24秒鐘，
故到2006秒鐘，須由（44，44）再向下運動2006-1980=26秒鐘，到達（44，18）．

（3）觀察圖形可知：
①a為奇數時，粒子先到A（a，b）；
②a為偶數時，粒子先到B（b，a）．

點評：本題是考查了數陣圖中找規律的問題，點的坐標的確定．本題也是一個閱讀理解并猜想規律的題目，解答此題的關鍵是總結規律首先確定點所在的大致位置，然后就可以進一步推得點的坐標．