Question

【題目】如圖，在以為頂點的多面體中，四邊形是菱形， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）利用菱形的性質，根據勾股定理可得，結合條件，由線面垂直的判定定理可得平面；（2）分別以為軸，以為軸，連結與中點作為軸建立坐標系，分別根據向量垂直數量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（1）證明：連結

四邊形是菱形， 得

在中，

滿足得

平面

（2）分別以為軸，以為軸，連結與中點作為軸

，得，

取的中點，則

面的法向量為：

設面的一個法向量為：

得得

由

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.