Question

平面上畫5個圓，最多可以把平面分成多少部分？如果再畫一條直線，最多可以把平面分成多少部分？

Answer 1

分析：（1）畫一個圓可以將平面分成2部分；
畫第二個圓時與第一個圓最多新產生2個交點，平面數量多2，即2+2=4，被分成4部分；
畫第三個圓時，與前兩個圓最多新產生4個交點，平面數量增加4，即2+2+4=8，平面被分成8部分；
畫第四個圓時，與前三個圓最多新產生6個交點，平面數量增加6，平面被分成2+2+4+6=14，平面被分成14部分；
畫第五個圓時，與前四個圓最多新產生8個交點，平面數量增加8，平面被分成2+2+4+6+8=22，平面被分成22部分；
（2）若再畫一條直線，要使分平面的部分數最多，則直線與五個圓都相交，有10個交點，直線被五個圓分成11部分，每一部分將原來所在平面區域又分成兩部分；又因為圓外的兩部分實際上同屬于一個區域，所以實際增加了10個部分，此時，將平面最多分成22+10=32個部分．

解答：解：（1）最多可以把平面分成：
2+2+4+6+8=22（個）；
答：平面上畫5個圓，最多可以把平面分成22個部分．
（2）22+10=32（個）；
答：如果再畫一條直線，最多可以把平面分成32部分．

點評：根據問題一我們通過從特殊到一般，可以歸納結論得出：n個圓最多能將平面分成n²-n+2個部分．