Question

如圖是在研究楊輝三角問題時的系數的規律圖．第一層只有一個數字1；第二層有兩個數字1，1；第三層有三個數字1，2，l，…．觀察圖中的規律，試回答：
（1）要使圖中每一層的數字和都不超過100，則最多可以有多少層？
（2）要使第n層中所有數字的和不小于2004，則n最小為多少？

Answer 1

分析：根據圖中數據可以看出，第一層數字是1，可以看成2⁰；第二層數字之和是2，可以看成2¹；第三層數字之和是4，可以看成2²；第四層數字之和是8，可看成2³；第五層數字之和是16，可看成2⁴；…第n層數字之和可以寫成2^n-1．

解答：解：（1）因為2⁶＜100＜2⁷，
所以n-1=6，則n=7．
答：要使圖中每一層的數字和都不超過100，則最多可以有7層．
（2）因為2¹⁰=1024，2¹¹=2048，可得：1024＜2004＜2048；
所以要使第n層中所有數字的和不小于2004，則n-1=11，即n=12．
答：要使第n層中所有數字的和不小于2004，則n最小為12．

點評：根據圖中每一層上的數字之和得出排列規律為：2^n-1，是解決本題的關鍵．