Question

已知m、n兩個數都是只含質因數2和7，它們的最大公因數是56．已知m有12個因數，n有10個因數，那么m與n的和是

504

．

Answer 1

分析：因為56=2³×7，56的因數的個數是（3+1）×（1+1）=4×2個，又因為m、n兩個數都是只含質因數2和7，所以12和10的因數中必定有4和2這兩個因數中的一個，結合題意可得，12=4×3=（3+1）×（2+1），10=5×2=（4+1）×（1+1），據此確定m=2³×7²，n=2⁴×7，然后求和即可．

解答：解：因為56=2³×7，56的因數的個數是（3+1）×（1+1）=4×2個，
又因為m、n兩個數都是只含質因數2和7，肯定是2的若干次冪和7的若干次冪的積，
所以12和10的因數中必定有4和2這兩個因數中的一個，否則他們的最大公因數就不是56，
結合題意可得，12=4×3=（3+1）×（2+1），10=5×2=（4+1）×（1+1），
據此確定m=2³×7²=392，n=2⁴×7=112，
392+112=504；
故答案為：504．

點評：本題考查了因數個數公式的靈活應用，關鍵明確mn這兩個數一定含有（2³×7）這個因數和獨有的因數．