Question

已知三角形的三邊的長a、b、c都是整數，且a≤b≤c，若b=7，則這樣的三角形有

28

個．

Answer 1

分析：根據題意，a可取的值為1、2、3、…7，由三角形的三邊關系，有7≤c＜7+a，對a分情況討論，分析可得c可取的情況，即可得這種情況下符合條件的三角形的個數，由分類計數原理，結合等差數列的前n項和公式，計算可得答案．

解答：解：根據題意，a可取的值為1、2、3、…7，
根據三角形的三邊關系，有7≤c＜7+a，
當a=1時，有7≤c＜8，則c=7，有1種情況，
當a=2時，有7≤c＜9，則c=7、8，有2種情況，
當a=3時，有7≤c＜10，則c=7、8、9，有3種情況，
當a=4時，有7≤c＜11，則c=7、8、9、10，有4種情況，
…
當a=7時，有有7≤c＜14，則c=7、8、9、10…13，有7種情況，
則符合條件的三角形共有1+2+3+4+…+7=

7×(7+1)

2

=28；
故答案為：28．

點評：本題考查合情推理與分類計數原理的運用，涉及三角形三邊的關系，關鍵是發現a變化時，符合條件的三角形個數的變化規律．