Question

本屆“希望杯”全國數學邀請賽第1試于3月15日舉行，觀察下面的一列數：

1

1

，

1

2

，

2

1

，

1

3

，

2

2

，

3

1

，

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

，

1

5

，

2

4

，

3

3

，

4

2

，

5

1

…根據發現的規律，從左向右數，

3

15

是第

139

個數．

Answer 1

分析：通過觀察所給的數列，我們可以發現，在這一列數中，分子、分母的和為2的有1個，分子、分母的和為3的有2個，分子、分母的和為4的有3個，依此類推…，我們可以把分子、分母的和相同的數劃分在一組；這樣就會發現，第一組是1個數，第2組數是2個數，第3組數是3個數，而且分子、分母的和減1的得數，就是該分數所在組的序列數；

3

15

的分子與分母和是18，那么該分子所在的組數就是18-1=17（組），在它的前面還有16組數，這16組數因是等差數列，所以很容易就能求出前16組數中所有分數的個數是（16+1）×16÷2=136（個），而

3

15

在分子、分母和為18一組中，前面還有

1

17

，

2

16

 兩個數，位居第3，由此即可得出答案．

解答：解：因為，在這一列數中，分子、分母的和為2的有1個，
分子、分母的和為3的有2個，
分子、分母的和為4的有3個，依此類推…，
我們可以把分子、分母的和相同的數劃分在一組；
這樣就會發現，第一組是1個數，第2組數是2個數，第3組數是3個數，
而且分子、分母的和減1的得數，就是該分數所在組的序列數；

3

15

的分子與分母和是18，那么該分子所在的組數就是：18-1=17（組），
在它的前面還有16組數，這16組數因是等差數列，
所以很容易就能求出前16組數中所有分數的個數是：（16+1）×16÷2=136（個），
而

3

15

在分子、分母和為18一組中，前面還有

1

17

，

2

16

 兩個數，位居第3，
所以，

3

15

在這一整列數的個數為：136+3=139（個），
故答案為：139．

點評：解答此題的關鍵是，根據所給出的數列，找出規律，再根據規律，解答即可．