Question

有一個四位數分別除以它的各位數字得到的四個整數商，這四個商的和還是這個四位數（例如4444就是其中的一個）求滿足要求的四位數共有

8

個？

Answer 1

分析：設這個四位數字為abcd，根據題意可知，

abcd

a

+

abcd

b

+

abcd

c

+

abcd

d

=abcd，整理可得

1

a

+

1

b

+

1

c

+

1

d

=1，又a、b、c、d為2～9之間數字（很明顯0與1不符合要求），然后據此確定這幾個數字后，即能求出符合要求的四位數共有幾個．

解答：解：設這個四位數字為abcd，則：

abcd

a

+

abcd

b

+

abcd

c

+

abcd

d

=abcd，
可得：

1

a

+

1

b

+

1

c

+

1

d

=1，
又a、b、c、d為2～9之間數字（很明顯0與1不符合要求），
由于

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

8

=1．
即組成這個四位數的數字可為：2，4，8，8．
經驗證，這個四位數可為：2488，2848，4288，8248，8824共5個；
又

1

3

+

1

3

+

1

6

+

1

6

=1，
即組成這個四位數的數字可為：3，3、8、6，6．
經驗證，這個四位數可為：3366，6336共2個
再加上4444，
共有5+2+1=8個．
故答案為：8．

點評：根據題意列出等式進行整理求出組成這個四位數的數字是哪幾個后，然后再根據條件驗證確定是完成本題的關鍵．