Question

已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合．（1）如果折痕FG分別與AD、AB交與點F、G（如圖1），AF=

2

3

，求DE的長； （2）如果折痕FG分別與CD、AB交與點F、G（如圖2），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長．

Answer 1

分析：（1）根據AF，AD的長可以求得DF的長，根據折疊知EF=AF，再根據勾股定理即可計算得到DE的長；
（2）根據直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點，則折痕與AE的交點O即是其外接圓的圓心．設DE=x，根據三角形ADE的中位線定理求得OM=

1

2

x，進一步表示出ON的長．根據直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根據勾股定理列方程求解．再根據直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的長，從而根據軸對稱的性質得到FG=2OF．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=

2

3

，∠D=90°．
根據軸對稱的性質，得EF=AF=

2

3

．
所以DF=AD-AF=

1

3

．
在Rt△DEF中，DE=

3

3

．

（2）設AE與FG的交點為O．
根據軸對稱的性質，得AO=EO．
取AD的中點M，連接MO．
則MO=

1

2

DE，MO∥DC．
設DE=x，則MO=

1

2

x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
所以AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．
延長MO交BC于點N，則ON∥CD．
所以∠CNM=180°-∠C=90°．
所以ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形．
所以MN=CD=AB=2．所以ON=MN-MO=2-

1

2

x．
因為△AED的外接圓與BC相切，
所以ON是△AED的外接圓的半徑．
所以OE=ON=2-

1

2

x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
所以1²+x²=（4-x）²．
解這個方程，得x=

15

8

．（6分）
所以DE=

15

8

，OE=2-

1

2

x=

17

16

．
根據軸對稱的性質，得AE⊥FG．
所以∠FOE=∠D=90°．可得FO=

17

30

．
又AB∥CD，所以∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
所以△FEO≌△GAO．所以FO=GO．
所以FG=2FO=

17

15

．
所以折痕FG的長是

17

15

．

點評：本題通過矩形紙片折疊，利用軸對稱圖形的性質，在豐富的圖形關系中，考查學生獲取信息和利用所得信息認識新事物的能力，本題對圖形折疊前后的不變量的把握、直線與圓位置關系的準確理解、方程思想的運用意識和策略等具有可再抽象性．