Question

洗衣服用洗衣粉充分揉搓后，再擰一擰，衣服上仍留有1千克的帶污物的水，現有清水20千克，假設每次用來漂洗的水都是整數千克．
（1）分成2次漂洗后，污物的殘留量至少是漂洗前的幾分之幾？
（2）要使污物的殘留量小于漂洗前的

1

440

，至少要漂洗幾次？請給出符合條件的一種漂洗方案．（假設每次漂洗結束后，污物能均勻分布在水中）

Answer 1

分析：（1）分成兩次清洗，每次用清水10千克．第一次漂洗時，衣服上的1千克污水與10千克清水均勻混合，擰干衣服后，衣服上還是留有1千克的水，此時衣服上的污物殘留為之前的

1

1+10

=

1

11

．第二次漂洗時，同理，衣服上的污物殘留為第一次漂洗后的

1

11

．兩次漂洗后，污物的殘留量是漂洗前的 

1

11

×

1

11

=

1

121

．
（2）假設分成x次漂洗，每次漂洗用清水

20

x

千克．每次漂洗后，污物的殘留量為此次漂洗前的

1

1+ 20 x

，一共洗了x次，所以洗x次后，污物殘留為洗之前的（

1

1+ 20 x

）^x．當x=2時，污物殘留為

1

121

．當x=3時，每次漂洗后污物殘留量為

1

1+ 20 x

=

3

23

；清洗三次后污物殘留量為

3

23

×

3

23

×

3

23

=

27

12167

．由此可知，至少要清洗三次，污物的殘留量小于漂洗前的

1

440

．

解答：解：（1）每次用清水：20÷2=10（千克），
第一次漂洗后，污物殘留量是漂洗前的

1

1+10

=

1

11

．第二次漂洗后，污物殘留量是漂洗前的 

1

11

×

1

11

=

1

121

．
（2）漂洗三次時：第一次漂洗后，污物殘留量為漂洗前的=的

1

1+10

=

1

11

．第二次漂洗后，污物殘留量為漂洗前的  

1

11

×

1

11

=

1

121

．，
第三次漂洗后，污物殘留量為漂洗前的

3

23

×

3

23

×

3

23

=

27

12167

．
三次漂洗后，污物殘留量小于清洗前的

1

440

．所以給出的方案為清洗3次．
答：如果分成2次漂洗后，污物的殘留量至少是漂洗前的

1

121

；要使污物的殘留量小于漂洗前的

1

440

，至少要漂洗3次

點評：本題主要考查最優化方法，解答此題，關鍵是能理解每次漂洗后污物殘留量為前一次的幾分之一．