Question

如圖，甲、乙兩艘快艇不斷往返于A、B兩港之間．若甲、乙同時從A港出發，它們能否同時到達下列地點？若能，請推算它們何時到達該地點；若不能，請說明理由．
（1）A港；
（2）B港；
（3）在兩港之間且距離B港30千米的大橋．

Answer 1

分析：由圖可知，兩港相距180千米，甲的靜水速度為每小時30千米，乙的靜水速度為每小時50千米，水流速度為10千米，因此可據流水問題中的其本關系式：順水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速，以及行程問題中的基本關系式：路程÷速度=時間進行分析解答．

解答：解：（1）甲往返一次的時間是：

180

30+10

+

180

30-10

=13.5（小時），
乙往返一次的時間是：

180

50+10

+

180

50-10

=7.5（小時）；
13.5和7.5的最小公倍數為67.5，所以在甲乙出發后的67.5a（a=1，2，…）小時，它們又同時回到A港．
（2）設甲乙能同時到達B港，此時甲乙各完成了m，n（m，n為大于0的自然數）次往返，則有：

180

30+10

+13.5m=

180

50+10

+7.5n，
整理后得：9m+1=5n，當m的個數是6或1時，有滿足上式的自然數n，所以在甲、乙出發后的：

180

30+10

+13.5×（1+5b）=18+67.5b（b=1，2，…）小時，它們同時到達B港．
（3）設甲、乙能同時到達大橋，且分別完成了m，n次往返（m，n為不為零的自然數）．
①若此時甲乙向下游行駛，則：

180-30

30+10

+13.5m=

180-30

50+10

+7.5n．
整理后得：135m+12.5=75n．沒有滿足上式的自然數m，n．
②若此時甲乙向上游行駛，則：

180

30+10

+

30

30-10

+13.5m=

180

50+10

+

30

50-10

+7.5n．
整理后得：135m+22.5=75n．沒有滿足上式的自然數m，n．
③若此時甲向上游行駛，乙向下游行駛，則：

180

30+10

+

30

30-10

+13.5m=

150

50+10

+7.5n．
整理后得：27m+7=15n，沒有滿足上式的自然數m，n．
④若此時甲向下游行駛，乙向上游行駛則：

150

30+10

+13.5m=

180

50+10

+

30

50-10

+7.5n．
整理后得：9m=5n，當m的個數是0或5時，有滿足上式的自然數n．
所以，在甲、乙出發后的：

150

30+10

+13.5×5c=3.75+67.5c（c=1，2，…）小時，
它們能同時到達大橋．

點評：完成問題（3）時要注意分不同情況去進行分析解答．