Question

劉老師在一節數學課上布置了一道數學題：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=

255

256

．有同學用通分算出了結果，但太麻煩．我們做一個有趣的活動，如圖所示；把面積為1的正方形等分成兩個面積為

1

2

的矩形，并把其中一個矩形等分成兩個面積為

1

4

的矩形，如此下去…，請你根據你發現的規律，計算：
①

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=

255

256

．

②

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

1024

=

1023

1024

．

③

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=

1-

1

2n

．

Answer 1

分析：分析圖形中的數據可知：

1

2

=1-

1

2

，

1

2

+

1

4

=1-

1

4

，

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

，所以規律為

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=1-

1

2n

；由此規律直接計算即可．

解答：解：①

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=1-

1

256

=

255

256

．

②

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

1024

=1-

1

1024

=

1023

1024

．

③

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=1-

1

2n

；
故答案為：

255

256

；

1023

1024

；1-

1

2n

．

點評：此題注意每次分割都是分兩份，求若干個矩形的面積和也可以換個方法思考，用減法簡單地計算出來．