Question

自△ABC內一點P，分別向BC，CA，AB邊引垂線，垂足依次為D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE為直徑分別向外作半圓．如圖所示這六個半圓面積分別記為S₁，S₂，S₃，S₄，S₅，S₆，若S₅-S₆=2，S₁-S₂=1，那么S₄-S₃=

 

．

Answer 1

考點：圓與組合圖形

專題：平面圖形的認識與計算

分析：解：如圖，，連接AP、BP、CP，根據勾股定理，可得AP²-BP²=AF²-BF²，BP²-CP²=BD²-CD²，CP²-AP²=CE²-EA²，所以AF²+BD²+CE²=BF²+CD²+EA²；然后根據圓的面積公式，可得S₁+S₃+S₅=S₂+S₄+S₆，所以S₄-S₃=（S₅-S₆）+（S₁-S₂）=2+1=3，據此解答即可．

解答： 解：如圖，，連接AP、BP、CP，
根據勾股定理，可得AP²=AF²+FP²…①，BP²=BF²+FP²…②，
①-②，可得AP²-BP²=AF²-BF²…③，
同理，可得BP²-CP²=BD²-CD²…④，
同理，可得CP²-AP²=CE²-EA²…⑤，
③+④+⑤，可得AF²+BD²+CE²=BF²+CD²+EA²，
所以

π

4

×（AF²+BD²+CE²）=

π

4

×（BF²+CD²+EA²），
因此S₁+S₃+S₅=S₂+S₄+S₆，
所以S₄-S₃
=（S₅-S₆）+（S₁-S₂）
=2+1
=3
故答案為：3．

點評：此題主要考查了圓與組合圖形問題，解答此題的關鍵是熟練掌握圓的面積公式和勾股定理．