Question

重排任意一個三位數的3個數位上的數字，至多得到6個三位數（允許百位數字為0），其中有一個最大數和一個最小數，它們的差構成另一個三位數（允許百位數字為0）．
例如：3位數990，重排后得到990和099，差為891；再重排，得到981和189，差為792；…．重復2005次后，得到的所有數為

 

．

Answer 1

分析：分兩種情況討論；
（1）若三個數位上的數字全相同，所得數為0；
（2）若三個數位上的數字不完全相同，
不妨設這個三位數為 abc，a≥b≥c，且a≥c+1，
所以 abc-cba=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位數中必有一個9，而另外兩個數字之和為9；
共有990，981，972，963，954五種情況，然后從中選一種情況進行探討，得出結論．

解答：解：分兩種情況討論；
（1）若三個數位上的數字全相同，所得數為0；
（2）若三個數位上的數字不完全相同，
不妨設這個三位數為 abc，a≥b≥c，且a≥c+1，
所以 abc-cba=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位數中必有一個9，而另外兩個數字之和為9；
共有990，981，972，963，954五種情況；
以990為例得，990-099=891，
981-189=792，
972-279=693，
963-369=594，
954-459=495，
…
由此可知最后得到495數就會循環，重復多次后所得的數是495．

點評：分情況探討，是解決本題的關鍵．