Question

如圖，把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D'CE'如圖乙．這時AB與CD'相交于點O，D'E'與AB相交于點F．（1）求∠OFE'的度數；（2）求線段AD'的長．（3）若把三角形D'CE'繞著點C順時針再旋轉30°得△D''CE''，這時點B在△D''CE''的內部、外部、還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，∠3=15°，∠E′=90°，∠1=∠2=75°，所以，可得∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°；
（2）由∠OFE′=∠120°，得∠D′FO=60°，所以∠4=90°，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD′=CD′-OC=7-3=4cm，在Rt△AD′O中，利用勾股定理求出即可；
（3）要證點B這時點B在△D''CE''的內部、外部、還是邊上，只要比較CB與CE″的長短即可確定．

解答：解：（1）如圖，由題意可知∠3=15°，∠E′=90°，
因為∠1=∠2，
所以∠1=75°．                              
又因為∠B=45°，
所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°．  
（2）連接AD′．
∠OFE′=120°，∴∠D′FO=60°．
又∠CD′E′=30°，∴∠4=90°．              
AC=BC，AB=6cm，
所以OA=OB=3cm，
∠ACB=90°，
所以OC=

1

2

AB=

1

2

×6=3（cm），
又因為CD′=7cm，
所以OD′=CD′-OC=7-3=4（cm）．
在Rt△AD′O中AD′=

OA2+OD′2

=

32+42

=5（cm）．
（3）B在△D''CE''的內部
證明：再旋轉30°后得∠BCE''=45°∠CE''D''=90° 可知斜邊應為：

7

2

2

，而BC的長度是3

2

，
所以B在△D″CE″的內部

點評：本題主要考查了勾股定理和旋轉的性質，能熟練應用勾股定理，利用旋轉前后的兩個圖形完全相等是解題關鍵．