Question

在平面上有一個(gè)27×27的方格棋盤，在棋盤的正中間擺好81枚棋子，它們被罷成一個(gè)9×9的正方形．按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲：每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過(guò)相鄰的棋子，放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中，并把越過(guò)的這格棋子取出來(lái)．問(wèn)：是否存在一種走法，使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子？

Answer 1

分析：分析游戲規(guī)則“每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過(guò)相鄰的棋子，放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中，并把越過(guò)的這格棋子取出來(lái)”，可知：每走一步，走動(dòng)棋子格、與它相鄰被取出的棋子格、落子的空格，這三個(gè)格內(nèi)棋子的狀態(tài)，有或無(wú)，同時(shí)發(fā)生變化．因此可將整個(gè)棋盤按水平和豎直方向用三種顏色染色，開始時(shí)，“棋盤的正中間擺好81枚棋子，它們被擺成一個(gè)9×9的正方形”，知三種顏色格子中棋子數(shù)是相同的（9÷9÷3=27），棋子數(shù)的奇偶性相同．由于每走一步，三種顏色格子里棋子數(shù)的奇偶性同時(shí)改變，因此三種顏色棋子數(shù)的奇偶性始終相同．要使“棋盤上最后恰好剩下一枚棋子”，三種顏色的格子里棋子數(shù)2種顏色為0，1種顏色為1，兩偶一奇，按上述走法顯然是不可能的．所以，不存在這樣一種走法，
使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子．

解答：解：如圖，將整個(gè)棋盤的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色，這種染色方式將棋盤分成了三個(gè)部分．

按照游戲規(guī)則，每走一步，有兩種顏色方格中的棋子數(shù)分別減少了1個(gè)，而第三種顏色的棋子數(shù)增加了一個(gè)．
這表明每走一步，每個(gè)部分的棋子的奇偶性要發(fā)生改變．
 因?yàn)橐婚_始時(shí)，81枚棋子擺成一個(gè)9×9的正方形，顯然三個(gè)部分的棋子數(shù)是相同的，從而每走一步，三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是相同的．
如果走了若干步以后，棋盤上恰好剩下一枚棋子，則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù)，而另一部分上的棋子數(shù)為奇數(shù)．
所以這種結(jié)果是不可能出現(xiàn)的．

點(diǎn)評(píng)：本題為一個(gè)典型的染色問(wèn)題，通過(guò)將圖形染色，能比較直觀的將題中要素體現(xiàn)出來(lái)，從而有助于問(wèn)題的解答．