Question

自然數a和b恰好都有99個自然數因數（包括1和改數本身），試問，數a×b能不能恰好有1000個自然數因數（包括1和該數本身）

Answer 1

分析：根據約數個數公式：假如A里含有M個質因數A1、N個質因數A2、…、P個質因數AX，即
A=A1^m×A2ⁿ×…×AX^p，則A的約數個數（包含1和本身）=（M+1）×（N+1）×…×（P+1），
自然數a含有99個因數，又因 99=3×3×11，說明自然數a含有的各個質因數出現的次數都為偶數；
對b同理；因此不管a、b里有沒有質因數重復，重復多少次，a×b的各個質因數出現的次數仍然為偶數（因偶數相加奇偶性不變）；據此解答．

解答：解：假如A里含有M個質因數A1、N個質因數A2、…、P個質因數AX，即
A=A1^m×A2ⁿ×…×AX^p，則A的約數個數（包含1和本身）=（M+1）×（N+1）×…×（P+1），
自然數a含有99個因數，又因 99=3×3×11，說明自然數a含有的各個質因數出現的次數都為偶數；
對b同理；因此不管a、b里有沒有質因數重復，重復多少次，a×b的各個質因數出現的次數仍然為偶數（因偶數相加奇偶性不變）；因此a×b的約數個數必等于多個奇數相乘，結果必為奇數，不可能為1000．

點評：此題應根據約數個數公式及數的奇偶性特點進行解答．