Question

對自然數列1，2，3，4，5，6，…進行淘汰，淘汰的原則是：凡不能表示為兩個合數之和的自然數均被淘汰．如：“1”應被淘汰；但12可以寫成兩個合數8與4的和，不應被淘汰．被保留下來的數按從小到大的順序排列，則第2006個數是

2015

．

Answer 1

分析：把自然數分為奇數和偶數兩類討論，能表示成兩個偶合數之和的最小自然數是：4+4=8；因為大于8的偶數比8大的部分是偶數，將大的部分的偶數加到4上一定是合數；所以大于8的偶數都可以表示為兩個合數之和的自然數，可以被保留下來；那么自然數列就只剩下了奇數，奇數能表示成兩個合數之和的最小自然數是：4+9=13，又根據數的奇偶性，任何大于13的奇數與13的差一定是偶數，將差偶數加到4上一定是合數，所以大于13的奇數都可以表示為兩個合數之和的自然數，可以被保留下來；這樣大于8的偶數和大于13的奇數都需要被保留下來；反之，小于8的偶數和小于13的奇數都需要被淘汰：即1、2、3、4、5、6、7、9、11；那么被保留下來的數是：8、10、12、13、14、15、16、…然后根據等差數列即可求出第2006個數是2015．

解答：解：最小的偶合數是4，最小的，奇合數是9；
能表示成兩個偶合數之和的最小自然數是：4+4=8；所以在大于8的偶數M都比8大2N，將增加的2N加到4上一定是合數即：M=（4+2N）+4，所以大于8的偶數都可以表示為兩個合數之和的自然數，可以被保留下來；
那么自然數列就只剩下了奇數，下面我們就研究奇數：
奇數如果能表示成兩個合數之和，根據數的奇偶性，說明這兩個合數必定是一奇一偶，
那么奇數能表示成兩個合數之和的最小自然數是：4+9=13，又根據數的奇偶性，任何大于13的奇數m與13的差一定是偶數2N，將2N加到4上一定是合數即：m=（4+2N）+9，所以大于13的奇數都可以表示為兩個合數之和的自然數，可以被保留下來；
所以小于8的偶數和小于13的奇數都需要被淘汰：即1、2、3、4、5、6、7、9、11；
那么被保留下來的數是：8、10、12、13、14、15、16、…
從12開始是一個等差數列，2006-2=2004，則第2006個數是：a₂₀₀₆=12+（2004-1）×1=2015；
答：被保留下來的數按從小到大的順序排列，則第2006個數是2015．
故答案為：2015．

點評：本題的思索重點是把自然數分為奇數和偶數去討論，難點是根據數的奇偶性，確定大于8的偶數和大于13的奇數都需要被保留下來．