Question

13．如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A₁B₁C₁D₁；把正方形A₁B₁C₁D₁邊長按原法延長一倍得到正方形A₂B₂C₂D₂（如圖（2））；以此下去…，求正方形A₄B₄C₄D₄的面積？

Answer 1

分析 本題需先根據已知條件得出延長n次時面積的公式，再根據求正方形A₄B₄C₄D₄正好是要求的第5次的面積，把它代入即可求出答案．在直角三角形CC₁中，CD₁=2，CC₁=1，運用勾股定理可求得C₁D₁=$\sqrt{5}$，所以延長一次為$\sqrt{5}$，面積為5，再延長為5¹=5，面積5²=25，…，據此解答即可．

解答 解：最初邊長為1，面積為1，
在直角三角形CC₁中，CD₁=2，CC₁=1，
則（C₁D₁）²=（CC^₁）²+（CD₁）²
=1²+2²
=1+4
=5
C₁D₁=$\sqrt{5}$，
所以延長一次為$\sqrt{5}$，面積為5，
再延長為5¹=5，面積5²=25，…，
下一次延長為5$\sqrt{5}$，面積5³=125，
以此類推，
當N=4時，正方形A₄B₄C₄D₄的面積為：5⁴=625．
答：正方形A₄B₄C₄D₄的面積為625．

點評 本題主要考查了正方形的性質，在解題時要根據已知條件找出規律，從而得出正方形的面積，這是一道常考題．