Question

如果一些不同質數的平均數為21，那么它們中最大的一個數可能為

 

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Answer 1

考點：合數與質數

專題：數的整除

分析：首先列出比21小的質數，A={2，3，5，7，11，13，17，19}，要想使最大的質數最大，那么就要用盡量多A中的數，而盡量少的用A以外的質數，首先說明不可能含2，否則21×N=（N-1）個奇數+2，驗證下無論N為奇數偶數等式都不能成立，3+5+7+11+13+17+19=75，21×7-75=72，其他所有質數都比21大，這意味著其他數-21≤72，即最大數≤93，小于93的最大質數是89，驗證可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．

解答： 解：小于21的質數：2，3，5，7，11，13，17，19，2+3+5+7+11+13+17+19=77，
所求的數最大，那么就盡量多的使用這8個小于21的質數，所有與21的差，都補給最大的那個數，
總和為：21×9=189，189-77=112，不是質數，
考慮從這8個里面去掉一個，這樣總和就是21×8=168，168-77=91，
91加上原來8個數中的某個，都不是質數，那就考慮再去掉一個，總和21×7=147，147-77=70，
70加上原來8個數中的2個，既然為質數，又不可能是2，那么得到的質數一定是奇數，需要加上的2個，必然有一個是2，
70+2=72，72+19=91，不是質數，
72+17=89，是質數，那么滿足要求的最大質數就是89，驗證可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．
故答案為：89．

點評：解決此題關鍵是要想使最大的質數最大，那么就要用盡量多21以內的數，而盡量少的用21以外的質數，逐步推出符合條件的最大質數．