Question

設a與b是兩個不相等的非零自然數．
（1）如果它們的最小公倍數是72，那么這兩個自然數的和有多少種可能的數值？
（2）如果它們的最小公倍數是60，那么這兩個自然數的差有多少種可能的數值？

Answer 1

分析：（1）因為最小公倍數是公有質因數與獨有質因數的連乘積求解．所以72=1×72=8×9=2×2×2×3×3，所以a和b可能是1、72或8、9或72、2、或72、3或72、4或72、6或72、8、或72、9或72、12或72、18或72、36或36、8或36、24、或24、18或24、9或18、8．
（2）60=2×2×3×5，先確定a，求出b因數，找出這樣的數組，然后求出它們的差，從而得解．

解答：解：（1）72=1×72=8×9=2×2×2×3×3，
所以：a和b可能是1、72或8、9或72、2、或72、3或72、4或72、6或72、8、或72、9或72、12或72、18或72、36或36、8或36、24、或24、18或24、9或18、8；
72+1=73，
72+2=74，
72+3=75，
72+4=76，
72+6=78，
72+8=80，
72+9=81，
72+12=84，
72+18=908，
72+36=108，
36+8=44，
36+24=60，
24+18=42，
24+9=33，
18+8=26，
9+8=17，
所以a與b之和可以有16種不同的值；
答：一共有16種不同的值．

（2）60=2×2×3×5，
a=60，b可取60的全部因子式共12個：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60
a=30，b可取全部因子中所有4的倍數共4個：4，12，20，60
a=20，b可取全部因子中所有3的倍數共6個：3，6，12，15，30，60
a=15，b可取全部因子中所有4的倍數共4個：4，12，20，60
a=12，b可取全部因子中所有5的倍數共6個：5，10，15，20，30，60
a=10，b可取全部因子中所有12的倍數共2個：12，60
a=6，b可取全部因子中所有20的倍數共2個：20，60
a=5，b可取全部因子中所有12的倍數共2個：12，60
a=4，b可取全部因子中所有15的倍數共3個：15，30，60
a=3，b可取全部因子中所有20的倍數共2個：20，60
a=2，b可取全部因子中所有60的倍數共1個：60
a=1，b可取全部因子中所有60的倍數共1個：60
共計12+4+6+4+6+2+2+2+3+2+1+1=45對，
如果不考慮a，b的順序也應有23種情況．
（1，60），（2，60），（3，20），（3，60），（4，15），（4，30），（4，60），（5，12），（5，60），（6，20），（6，60），
（10，12），（10，60），（12，15，），（12，20），（12，30），（12，60），
（15，20），（15，60），（20，30），（20，60），（30，60），（60，60）
它們的差是：0，2，3，5，7，8，10，11，14，17，18，26，30，40，45，48，50，54，55，56，57，58，59．
答：共有23種不同的差．

點評：解答此題應首先把72和60進行分解質因數，然后根據分解的情況進行分析，進而得出結論．