Question

如圖所示，陰影正方形的面積是2平方厘米，以這個正方形的對角線為邊作第二個正方形；再以第二個正方形的對角線為邊作第三個正方形．照此法依次作下去．問：
（1）第100個正方形的面積是多少平方厘米？
（2）這100個正方形的面積之和是多少平方厘米？
（3）這100個正方形實際覆蓋的面積是多少平方厘米？

Answer 1

分析：（1）根據已知可發現第n個正方形面積是第（n-1）個面積的2倍，所以第100個正方形面積是2¹⁰⁰，據此解答即可．
（2）將100個正方形面積相加即可
（3）由圖意得出這100個正方形實際覆蓋的面積是這100個正方形面積和的一半．

解答：解：（1）由題意得：第二個正方形的面積是2×2=4=2²，
第三個正方形的面積是4×2=8=2³，
第四個正方形的面積是8×2=16=2⁴，
…
依此類推，則S_n=2ⁿ．
所以第100個正方形的面積是：2¹⁰⁰平方厘米．
答：第100個正方形的面積是2¹⁰⁰平方厘米；

（2）這100個正方形的面積之和是：2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-2（平方厘米）；
答：這100個正方形的面積之和是2¹⁰¹-2平方厘米．

（3）（2¹⁰¹-2）×

1

2

=2¹⁰⁰-1（平方厘米）．
答：這100個正方形實際覆蓋的面積是2¹⁰⁰-1平方厘米．

點評：主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．