Question

探索：
如圖，外層正方形邊長是5，往里第二、三、四、五層各小正方形邊長依次是4、3、2、1，觀察圖形，完成下列問題；
（1）判斷大小關系：1³+2³+3³+4³+5³________（1+2+3+4+5）²；
（2）結合圖形，證明你（1）中的判斷．
猜想：
1³+2³+3³+…+n³=________．

Answer 1

解：（1）1³+2³+3³+4³+5³=1+8+27+64+125=225；
（1+2+3+4+5）²=15²=225；
所以1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²．
（2）結合圖形：大正方形的面積等于所有小正方形的面積之和為：
5²×20+4²×16+3²×12+2²×8+1²×4，
=5²×5×4+4²×4×4+3²×3×4+2²×2×4+1²×1×4，
=5³×4+4³×4+3³×4+2³×4+1³×4，
=（5³+4³+3³+2³+1³）×4；
同時，大正方形的邊長為：（1+2+3+4+5）×2，
所以面積為：
[1+2+3+4+5）×2]×[1+2+3+4+5）×2]，
=[（1+2+3+4+5）×2]²
=（1+2+3+4+5）²×2²，
=（1+2+3+4+5）²×4；
所以：（5³+4³+3³+2³+1³）×4=（1+2+3+4+5）²×4；
即：1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²．
（3）由以上結論猜想得出：
1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²．
故答案為：（1）=；猜想：（1+2+3+…+n）²．
分析：（1）通過計算判斷大小．
（2）根據所給圖形的面積證明（1）的判斷．
（3）根據以上兩個題的計算和驗證結論來推導．
點評：解決本題的關鍵是根據所給圖形的面積間的關系來推導出公式．