Question

有十個村，座落大縣城出發的一條公路上（如圖所示，距離單位是千米），要安裝水管，從縣城送自來水供給各村，可以用粗細兩種水管，粗管足夠供應所有各村 用水，細管只能供一個村用水，粗管每千米要用8000元，細管每千米要用2000元，把粗管和細管適當搭配、互相連接，可以降低工程的總費用，按你認為最 節約的辦法，費用應是多少？

Answer 1

分析：設十個村分別為A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇、A₈、A₉、A₁₀，在A₇之后，粗管可以換成3根或更少根細管，費用將減少，在A₆和A₇之間，不論安粗管還是四條細管，花的錢一樣多，在A₆以前如果不安粗管安細管，需要5條以上的細管，費用將增加．因此，工程的設計是：從縣城到A₇（A₆）安一條粗管；A₇、A₈之間安三條細管；A₈、A₉之間安二條細管；A₉、A₁₀之間安一條細管這樣做，工程總費用最少．

解答：解：如圖，設十個村分別為A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇、A₈、A₉、A₁₀，

工程的設計是：從縣城到A₇（A₆）安一條粗管；A₇、A₈之間安三條細管；A₈、A₉之間安二條細管；A₉、A₁₀之間安一條細管這樣做，工程總費用最少．
（30+5+2+4+2+3+2）×8000+（6+4+5）×2000=414000（元）
答：工程總費用最少為414000元．

點評：粗管每千米要用8000元，細管每千米要用2000元，4根細管的價格和1根粗管相等，3根以下細管比粗管節約是解決此題的關鍵．