Question

將△ABC的每一邊4等分，過各分點作邊的平行線，在所得下圖中有多少個平行四邊形？

Answer 1

分析：將平行四邊形分為三類：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方．就①類而言：由兩個三角形組成的平行四邊形是6個，由4個三角形組成的是3個；與其對稱的3個，由6個三角形組成的是1個，與其對稱的1個，由8個三角形組成的是1個．共15個．同理第②、第③類也分別是15個，由此解答．

解答：解：將平行四邊形分為三類：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方．
①尖角在上、下方的平行四邊形有：6+3+3+1+1+1=15（個）；
同理，第②、③類也分別含15個，
故上述三類平行四邊形共有：15×3=45（個）．
答：圖中一共有45個平行四邊形．
[注]這樣數平行四邊行，很麻煩，又易出錯．我們試圖找到一種對應關系：先考慮任一邊不與BC平行的平行四邊形，延長各邊必與BC有4個交點，特殊情況下，第二個交點與第三個交點重合；反過來，BC上的任意四點或三點決定一個平行四邊形，也就是說，邊不與BC平行的平行四邊形的個數與BC上的四交點組和三交點組的數目一樣多．
由于BC上有5個交點，其中可構成5個4點組；10個3點組，即邊不平行于BC的平行四邊形有15個．
同理分別考慮邊不平行AB、CD的平行四邊行．
由此可知，共有45個平行四邊形．

點評：出題的解答首先進行分類，然后按照一定順序分類求出這三類中各有多少個平行四邊形，由此解答即可．